椭圆切线方程的推导（圆锥曲线的切线方程及光学性质）

圆锥曲线的光学性质和它们的切线方程其实是同一个问题。

因为一个曲面的光学性质，肯定和曲面的法线有关。

光线在曲面某一个点的反射方向，取决于曲面在这个点的法线，法线两侧的入射角和反射角是相等的；曲面上点的法线，又必然和曲面上这个点的切线相互垂直的，就比如下面这种例子：

如图光线的箭头所示：如果有一束光从椭圆的焦点射出至P点，这束光的反射光线，一定会指向椭圆的另外一个焦点。

如果想要证明这个结论，必须先把曲面在P点的切线方程写出来，然后才能得到P点的法线方程，如果这条法线PA，能平分焦点三角形两条光线的夹角，那么我们上面的结论就是正确的。

所以第一步要做的就是求曲面在P点的切线方程。

我们可以设出点P 的坐标，根据点斜式写出它的方程，然后把这个方程和椭圆的方程联立。

因为切线和椭圆曲线只有一个交点，那么这个联立的方程只会有一个解。

椭圆在P点处的切线方程：

这个方程的长相和椭圆方程差不多，只不过使用点的坐标代替了其中的一个变量而已。

上述求椭圆切线方程的方法很传统，是最常用的一种，推导过程计算量很大，需要很好的多项式的化简功夫和恒等变形的能力，但好在它的思路清晰，大多数同学们都能想到，而且细心点也能做到很完美，所以，我依旧推荐这种方法，虽然很笨，但符合常规思维，适合大多数学生。

一旦推导完成一次以后，你就可以直接使用上述结论，而无需再次推导。

也就是说，你可以在考试中，直接使用上述公式对付圆锥曲线试题中，那些不需要写出解题过程的选择题和填空题，也可以在大题中首先采用上述结论得出最终的切线方程，得出这个最终结论之后，再返回头，装模作样地把假设的切线方程和圆锥曲线方程联立，省略中间的计算过程，直接写出你刚才已经得到的答案就可以。这样做一来可以提高解题效率，节省时间，二是可以避免因为过程缺乏而造成的扣分。

现在我们得到了p点切线的斜率：

我们就可以知道P点的法线PA的斜率:

我们就可以写出法线的方程，然后求出A点的坐标。、

在焦点三角形中，我们只需证明这条法线就是这个三角形的角平分线就ok，此时只需证：

各个点的坐标现在都很明确，所以，剩下的就是极具耐心地计算了（此处省略）。

这就是椭圆曲线的光学性质：在椭圆中，通过一个焦点发出的光线，经过椭圆曲线的反射后，反射光线必定经过另一个焦点。

这其实也是这两个定点被称为焦点的根本原因。

除了椭圆之外，双曲线、抛物线都具有类似的光学性质，如图：

上图中，从双曲线一焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线，必定经过双曲线另外一支的焦点。

抛物线的反射特性更有特点，从它焦点发出的光线，经过抛物面反射后，反射光线会平行于抛物线的对称轴。

人教版教材中拿出很大一部分笔墨，专门讲解了三大圆锥曲线的光学性质，但只是要求如何使用这些性质即可，对数理上的验证并没有提出很高的要求，所以，如果这些知识点出现在考试题目中，难度也不会太高，对学生还是相对友好的。