三角形中线的性质是什么(几何三角形中线定理)


三角形中线定理:
AB²+AC²=2(AD²+BD²)
AD²=1/2AB²+1/2AC²-1/4BC²

什么是三角形中线:
三角形中线是三角形中从某条边的中点连向对角的顶点的线段。一个三角形有3条中线。
如图,三角形ABC中,BC这条边的中点D,连接对角的顶点A,BD=DC,AD就是三角形的中线。

每个三角形都有三条中线,它们都在三角形的内部,如图△ABC中,AF=BF,AE=CE,BD=CD,AD、BE、CF就是三角形的中线。

我们用三角形勾股定理来推理:
首先作△ABC,BC边上的高AE,AD为中线,
由勾股定理得出:
AB²=AE²+BE²,
因为,BE=BD+DE,
所以,AB²=AE²+(BD+DE)²,
用完全平方公式,把(BD+DE)²,分解成:
BD²+DE²+2BD·DE
得到:
AB²=AE²+BD²+DE²+2BD·DE
勾股定理得出,
AC²=AE²+CE²,
因为,CE=CD-DE,
又,BD=CD,为了容易看清楚,统一用BD表示,
所以,AC²=AE²+(BD-DE)²,
用完全平方公式,把(BD-DE)²,分解成:
BD²+DE²-2BD·DE,
得到:
AC²=AE²+BD²+DE²-2BD·DE,
勾股定理得出,
AD²=AE²+DE²,

把,AB²+AC²=AE²+BD²+DE²+2BD·DE+AE²+BD²+DE²-2BD·DE
化简后,得到:
AB²+AC²=2(AE²+BD²+DE²)
因为,
AD²=AE²+DE²
替换上去得到,
AB²+AC²=2(AD²+BD²)

因为,
AB²+AC²=2×(AD²+BD²)
那么,
1/2 AB²+1/2 AC²=AD²+BD²
AD²=1/2 AB²+1/2 AC²-BD²
因为,
BD=BC的一半,一半的平方=1/4全长平方,
那么,
BD²=1/4 BC²
最终,
AD²=1/2 AB²+1/2 AC²-1/4 BC²

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