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三角形中线的性质是什么(几何三角形中线定理)

100次浏览     发布时间:2024-09-15 08:53:15    
  

三角形中线定理:

AB²+AC²=2(AD²+BD²)

AD²=1/2AB²+1/2AC²-1/4BC²

什么是三角形中线:

  三角形中线是三角形中从某条边的中点连向对角的顶点的线段。一个三角形有3条中线。

如图,三角形ABC中,BC这条边的中点D,连接对角的顶点A,BD=DC,AD就是三角形的中线。

  每个三角形都有三条中线,它们都在三角形的内部,如图△ABC中,AF=BF,AE=CE,BD=CD,AD、BE、CF就是三角形的中线。

我们用三角形勾股定理来推理:

首先作△ABC,BC边上的高AE,AD为中线,

由勾股定理得出:

AB²=AE²+BE²,

因为,BE=BD+DE,

所以,AB²=AE²+(BD+DE)²,

用完全平方公式,把(BD+DE)²,分解成:

BD²+DE²+2BD·DE

得到:

AB²=AE²+BD²+DE²+2BD·DE


勾股定理得出,

AC²=AE²+CE²,

因为,CE=CD-DE,

又,BD=CD,为了容易看清楚,统一用BD表示,

所以,AC²=AE²+(BD-DE)²,

用完全平方公式,把(BD-DE)²,分解成:

BD²+DE²-2BD·DE,

得到:

AC²=AE²+BD²+DE²-2BD·DE


勾股定理得出,

AD²=AE²+DE²

把,AB²+AC²=AE²+BD²+DE²+2BD·DE+AE²+BD²+DE²-2BD·DE

化简后,得到:

AB²+AC²=2(AE²+BD²+DE²)

因为,

AD²=AE²+DE²

替换上去得到,

AB²+AC²=2(AD²+BD²)

因为,

AB²+AC²=2×(AD²+BD²)

那么,

1/2 AB²+1/2 AC²=AD²+BD²

AD²=1/2 AB²+1/2 AC²-BD²

因为,

BD=BC的一半,一半的平方=1/4全长平方,

那么,

BD²=1/4 BC²

最终,

AD²=1/2 AB²+1/2 AC²-1/4 BC²

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